こばじの部屋

20代/日本企業のITエンジニア/ハリポタ/吹奏楽/読書

【中学数学】「三平方の定理」で自分が変態レベルに数学好きだったのを思い出した

題名を見て、うっ…となった方、数学恐怖症の方、ご覧にならない方がよいかもしれません。(笑)

そうでない方は、是非ご覧ください!

中3の頃、三平方の定理を習いたての頃、

「3以上のすべての奇数において、3辺が整数となる直角三角形の1辺になることができる」ということを見つけて興奮したことを思い出したので、まとめました。


目次

はじめに

自己紹介

IT企業に勤める20代男性です。ソフトウェア開発をしており、時々プログラミングをやります。

要するに、バリバリ理系です。ただ、歴史や英語なども好きです。

関連記事

中学数学に関する記事を過去に挙げています。よかったらご覧ください。

kobaji.hatenablog.com

中学数学のおさらい

この記事を読んでいただくにあたり、「三平方の定理」と「和と差の積は2乗の差」についておさらいしておきます。

この2つが記事に出てきます。

三平方の定理とは

簡単に言うと、直角三角形の斜辺(斜めで最も長い辺)と、その他の辺に関する関係のことです。

斜辺をc、他の辺をa、bとすると、a2+b2=c2が成り立つというものだと理解していただければ、この記事の範囲では十分です。

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三平方の定理

和と差の積は2乗の差とは

展開と因数分解の話です。

  • 展開では、(a+b)(a-b)=a2-b2 (和と差の積は2乗の差)
  • 因数分解では、a2-b2=(a+b)(a-b)

と計算できます。

「3以上のすべての奇数において、3辺が整数となる直角三角形の1辺になることができる」

それでは本題に移ります。

「3:4:5という整数組み合わせになる直角三角形が存在する」ということを知ってわくわくした少年こばじ(当時中3)は、こんなことを考えていました。

これ、他にも整数組み合わせになる直角三角形が存在するのでは?

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考えるこばじ少年(中3)

そして見つけたのです。3以上のすべての奇数において、3辺が整数となる直角三角形の1辺になることができると。

どういうこと?

図とともに示すと、↓こんな感じです。

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①最短辺が3以上の奇数となる場合、②すべての辺が整数になる直角三角形が存在する

なぜ成り立つ?

(ここは読み飛ばしていただいても構いません^^中学数学の範囲ですが、細かいので…笑)

三平方の定理」と「和と差の積は2乗の差」を組み合わせます。

直角三角形の最短辺をa、斜辺をc、その他の辺をbとします。

このとき三平方の定理よりa2+b2=c2ですね。これを変形して、
c2-b2=a2になります。左辺を因数分解すると、
(c+b)(c-b)=a2となります。

aが奇数のとき、a2も奇数になります。a2が奇数ということは、左辺も奇数になります。c-bが奇数ということは、c-b=1になりえます。

c-b=1のとき、c+bはa2になります。

ということは、差が1、和がa2になるbとcを探せばよいのです。

ここでaが3以上の奇数の場合、和がa2になり、差が1になる整数bとcの組み合わせは存在します。

これは、a2=2n+1(aは3以上なので、nは4以上の自然数)とすると、2n+1を「n」と「n+1」に分けられるためです。「n」と「n+1」の和は2n+1、差は1ですね。

というわけで、最短辺aが3以上の奇数になる場合、すべての辺が整数になる直角三角形が存在すると言えます。

おまけ

ちょっとおまけを書いてみます。

もっと簡単に言うと…

直角三角形の最短辺をa、斜辺をc、その他の辺をbとした場合、a、b、cの関係は次のようになります。

  • b: a2を2で割り、小数点以下を切り捨てた方
  • c: a2を2で割り、小数点以下を切り上げた方(=b+1)

なぜそうなるのかは、上述の「なぜ成り立つ?」を参考にしてみてください。

たとえばこんな感じ

直角三角形の最短辺をa、斜辺をc、その他の辺をbとした場合、すべて整数となる組み合わせは、少なくとも以下があります。

※これとは別に、3cm:4cm:5cmを拡大した9cm:12cm:15cmなどもすべて整数となります。

a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 112 113

法則を見つけたときの状況

その日、「3cm、4cm、5cmからなる三角形は直角三角形である」ということを知って興奮していました(この時点でだいぶ変態数学好きなのが窺えますね)。

その日の夜、お風呂に入っていた時のこと。浴槽に浸かりながらも、暇だったので、「他に直角三角形になる組み合わせはないかなー」と考えていました(ここでも、だいぶ変態数学好きなのが窺えますね)。

3:4:5は直角三角形になる。
最短辺が4の時は42+b2=c2になる整数組み合わせを考えると…
(c+b)(c-b)=16になるわけだから、、、「和が16で差が1」になる2組の整数はないし、「和が8で差2」は3:4:5なので4は最短辺じゃない。「和が4で差が4」もないな。ってことは最短辺が4になる整数組み合わせはないのか。


最短辺が5の時は52+b2=c2になる整数組み合わせを考えると…
(c+b)(c-b)=25になるわけだから、、、「和が25で差が1」になる2組の整数、12と13がある。ってことは5:12:13は直角三角形か!

この時点で「何か法則はないかなー」って思っていました(ここでも、だいぶ変態数学好きなのが窺えますね)。

待てよ、最短辺aが奇数の場合、(c+b)(c-b)=a2として、a2は奇数だから、2で割ると1余る。
ということは和がa2で差が1になる整数bとcって存在する!!!

ここでとても興奮したことを覚えています(ここでも、だいぶ変態数学好きなのが窺えますね)。

おわりに

読んでいただきありがとうございました。

数学の話題でした。これ、大人になって振り返ると、「最短辺aが3以上の奇数とし、bが自然数のとき、直角三角形になるa、b、b+1という組み合わせが存在する」と言えることがわかりました。これも私にとって新たな発見です。

また、書いていて、やっぱ自分は数学好きの変態人間なんだな、と思い返しました。(笑)小中高のどこかでも私立に通っていたら、もっと変態エスカレートした人間になっていたかもしれません!

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